全ての放物線は相似である。ならば、双曲線は？ - 質問に真剣かつ適当に答える日記

教えてはてなダイアリーより、DOSEI日記 - 放物線の相似性から。

数学好きであるのに、「全ての放物線が相似である」という事実は初耳なんですが、証明は割りと簡単（参考:放物線の相似性）。
放物線はある直線（準線）への距離とその直線上にない点（焦点）への距離とが等しい点の集合と定義されます。良く分かりませんが、放物線をパラボラというように、つまりパラボラアンテナは放物線なのですが、パラボラ状の反射板に対して平行に入射した光はある焦点に集まるという事です。ちなみに、一般式は $y=ax^2+bx+c$ 。
対して双曲線はある２点からの距離が一定になるような曲線と定義されます。媒介変数表示すると $x=\pm{acosht}$ $y=bsinht$ とあらわせます。また双曲線は円錐を底面を通る軸に平行でない面で切断したときの、切断面の境界です。同様に放物線は、円錐を底面を通る軸に平行な面で切断したときの、切断面の境界です。
真円にどれくらい近いかを図るものさしである離心率も、放物線なら１、双曲線なら１以上と異なっています。つまり、形は似ていますが全く別の曲線ということなります（参考:双曲線関数）。

さて、双曲線は相似なのか？
離心率から直感的に考えると、離心率が0ならば真円でこれは常に相似です。次に楕円を飛ばして離心率が1である放物線も円と同じく離心率が一定なので、 $y=ax^2$ のaの値が変化しても曲線の根本的な形は変わらないでしょう。対して双曲線は離心率が1より大きいので様々な離心率の双曲線が存在します。つまり開き具合が異なる曲線があるので相似ではないのではなかろうか。また、双曲線の媒介変数表示からも、 $X=\pm{cosht}$ $Y=sinht$ である双曲線と $x=\pm{acosht}$ $y=bsinht$ ではxに関してはa倍、yに関してはb倍とx, yで縮尺が違うので相似ではないのではと思えます。

証明は、分かりません。というか、「相似でない」と証明するのはどうしたら良いのかね？こういう場合は背理法が良いのかしら？